相位

为了探索相位对 DFT 输出的影响，我还是用原来的输入函数，但是每次只修改正弦曲线的相位：

\[f(t)=sin(4t \times 2\pi + r)\]

上面的 \(r\) 即为每次设置的相位值。

回顾

为了方便对比实验结果，有必要回顾一下之前的 DFT 输出：

实验

第一次，我们加上一个比较小的相位偏移：\(0.25\pi\)，即 45 度角对应的弧度。

这一次实数部分不在全为 0 了，这推翻了之前的结论，之前我们一直以为实数基本没有什么意义，以为他们都是 0。现在看来，实数已经不能随便忽略了。

而且，这一次输出的实数和虚数是相同的。和相位 0 的输出对比，只有尖尖的高度发生了变化，不过现在还不容易看出了高度上的规律。不着急，我们再去修改相位看看。

这一次，修改相位为 90 度：

哈——这一次换成虚数全为 0 了。

接着，用 180 度相位：

180 相位几乎和 0 相位一模一样，只是尖尖的正负相反。

现在来看，尖尖的高度似乎在随着相位的变化，在虚数和实数部分之间‘游荡’：45 度相位时，高度的有一部分跑到了实数部分，相位再偏移 45 度时，所有高度都跑到实数去了。那再偏移个 90 度呢？高度又回到虚数了，只是这次是正的。

为了直观看出实数和虚数的关系，不能再把实数和虚数放到单独的图表里了。所以下面我就以实数为横轴，虚数为纵轴，重新绘制四个不同相位的输出：

相位（度）	输出
0
45
90
180

注意在原点位置实际有很多个数据，只是都重合了。而且只统计前 50 个输出数据（回顾前面，输出存在对称关系）。

可以看到，随着相位的变化，尖尖实际在逆时针旋转，而且旋转的角度就是相位。所以现在看来，要表达输入函数的完整特性（频率、振幅和相位），必须得用完整的复数才行。

奇怪的是，为什么 0 相位的时候，复数在虚数轴的负半轴。一般描述角度的时候，都以横轴的正半轴为准。而现在 0 相位的时候，角度是 -90 度，或者说 0 度时相位是 90 度。这是因为输入函数是个正弦函数，而正弦函数偏移 90 度相位，实际就变成了一个余弦函数了：\(cos(x) = sin(x + \pi / 2)\)。

结论

最后，可以总结：对于 N 个全是实数输入的 DFT 的前一半输出，每个复数实际都代表一个余弦函数。而且其频率、振幅和相位都可以从输出的复数计算出来。